Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1.   Аналитический.
2.   Графический.
3.   Табличный.
   Табличный способ обычно возникает в результате эксперимента. Недостаток табличного задания функции заключается в том, что всегда 
находятся значения переменных, которые не определены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной 
функцию, называемой аппроксимирующей, а действие замены аппроксимацией.

   Рис. 1
   Аппроксимация заключается в том, что, используя имеющуюся информацию по f(x), можно рассмотреть другую функцию f(u) близкую в 
некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены. Здесь f(u) — 
аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
   Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0=f(x0), требуется построить аппроксимирующую функцию j(x), совпадающую в узлах с xi с 
заданной, то такой способ называется интерполяцией. При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью 
многочлена, имеющего общий вид
j (x)=p n (x)=a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0
   В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an, an-1, …a0, так как задачей является интерполирование, то определение 
коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства: P n (x i)=y i, где i=0, 1, …n
   Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x)
i1j
   В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией
Задание
   С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x c, узлы интерполяции расположены равномерно с 
шагом D х = 4, 1 начиная с точки х0 =1, 3 даны значения функции y = {-6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.86, 8.82, 11.33, 11.27}
ГСА для данного метода
   CLS
   DIM Y(9)
   DATA -6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.86, 8.82, 11.33, 11.27
   X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10
   FOR I = 0 TO N - 1
   1 X(I) = X0 + H * I
   READ Y(I)
   PRINT Y(I); X(I)
   NEXT I
   S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
   FOR I = 0 TO N - 1
   2 S1 = S1 + X(I) ^ 2
   S2 = S2 + X(I)
   S3 = S3 + X(I) * Y(I)
   S4 = S4 + Y(I)
   NEXT I
   D = S1 * N - S2 ^ 2
   D1 = S3 * N - S4 * S2
   D0 = S1 * S4 - S3 * S2
   A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
   YC = A1 * XC + A0
   PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC
   FOR X = 0 TO 50 STEP 10
   Y = A1 * X + A0
   PRINT X, Y
   NEXT X
   END
   XC= 10
   Х Y
   1.3 -6.56
   5.4 -3.77
   9.5 -1.84
   13.6 .1
   17.7 2.29
   21.8 4.31
   25.9 5.86
   30 8.82
   34.1 11.33
   38.2 11.27
   S=-1.594203
Аппроксимация функцией. Метод наименьших квадратов

   Рис. 1
   В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными 
таблично или в виде набора точек с координатами (x i, y i), i=0, 1, 2, ...n, где n — общее количество точек. Как правило, эти табличные данные 
получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость 
(например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения 
функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации
   Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. 
Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий. Обозначим через fi значение, вычисленное из 
функциональной зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi. Одно из условий согласования можно записать как
S = a(f i -y i ), min, ® 0
   т. е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения 
могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается
   Использование критерия S = |fi -yi | min, ® 0 также не приемлемо, т. к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума. Учитывая 
вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой S = (f i -y i) 2, (1) 
обращается в минимум.
   В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 + C1 X + C2 X2 +...+CM XM (2)
   Формула (1) примет вид S = (C0 + C1 Xi + C2 Xi 2 +...+CM Xi M - Yi) 2
   Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С0, С1, ...СМ :
S C0 = 2 (C0 + C1 Xi + C2 Xi 2 +...+ CM Xi M - Yi) = 0, 
S C1 = 2 (C0 + C1 Xi + C2 Xi 2 +...+ CM Xi M - yi) Xi = 0, (3)
S CM = 2 (C0 + C1 Xi + C2 Xi 2 +...+ C M Xi M - Yi) Xi M = 0, 
   Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C0 (N+1) + C1 Xi + C2 Xi 2 +...+ CM Xi M = Yi, 
C0 Xi + C1 Xi 2 + C2 Xi 3 +...+ CM Xi M+1 = Yi Xi, (4)
C0 Xi M + C1 Xi M+1 + C2 Xi M+2 +...+ CM Xi 2M = Yi Xi M
   Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). 
Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются 
при ее решении 
(N+1) 
X i 
X i 2 
... 
X i M 
Y i 
X i 
Xi2 
X i 3 
... 
X i M+1 
Y i X i 
... 
... 
... 
... 
... 
... 
X i M 
X i M+1 
X i M+2 
... 
X i 2M 
Y i X i M 
    
   Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних 
столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.
Задание
   Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.56, 8.82, 11.33, 11.27}, x0=1.3 h=4.1 и 
определить интеграл заданной функции.

Рис. 3
Программа
   ¦CLS
   ¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10
   ¦DIM Y(9): DIM X(9)
   ¦DATA -6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.86, 8.82, 11.33, 11.27
   ¦FOR I = 0 TO N - 1
   ¦X = X0 + H * I:
   ¦X(I) = X
   ¦READ Y(I)
   ¦PRINT X(I), Y(I)
   ¦NEXT I
   ¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
   ¦I = 0
   ¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:
   ¦S2 = S2 + X(I):
   ¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):
   ¦S4 = S4 + Y(I)
   ¦I = I + 1
   ¦IF I <= N - 1 THEN 10
   ¦D = S1 * N - S2 ^ 2:
   ¦D1 = S3 * N - S2 * S4:
   ¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3
   ¦A1 = D1 / D:
   ¦A0 = D0 / D
   ¦Y = A1 * XC + A0
   ¦PRINT TAB(2); "Коэффициент прямой в точке A0="; A0, 
   ¦PRINT TAB(2); "Коэффициент прямой в точке A1="; A1, 
   ¦PRINT TAB(2); "Значение функции в точке XC Y="; Y
   ¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10
   ¦Y = A1 * X + AO
   ¦PRINT X, Y
   ¦NEXT X
   ¦FOR I = 1 TO N - 1
   ¦S = S + Y(I): NEXT I
   ¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)
   ¦PRINT "Значение интеграла по методу трапеции D="; D
Ответы
   Х Y
   1.3 -6.56
   5.4 -3.77
   9.5 -1.84
   13.6 1
   17.7 2.29
   21.8 4.31
   25.9 5.86
   30 8.82
   34.1 11.33
   38.2 11.27
   Коэффициент прямой в точке A0= -6.709182
   Коэффициент прямой в точке A1= 5007687
   Значение функции в точке XC Y= -1.701495
   10 5.007687
   20 10.01537
   Значение интеграла по методу трапеции D= 166.9725